Dinámica · Física I

Leyes de Newton

Las leyes se formulan para marcos de referencia inerciales y distinguen entre la fuerza neta sobre un cuerpo y las fuerzas de interacción entre cuerpos.

Inercia

Primera ley

Si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, el cuerpo permanece en reposo o se mueve con velocidad constante en línea recta.

\sum\vec{F}=0\ \Longleftrightarrow\ \vec{v}=\text{constante}

Válida en un marco inercial. La inercia es la resistencia al cambio de movimiento.

Fuerza y aceleración

Segunda ley

La fuerza neta produce una aceleración en su misma dirección, proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa.

\sum\vec{F}=m\vec{a}

La masa mide la inercia del cuerpo. La ecuación es vectorial.

Acción y reacción

Tercera ley

Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza igual en magnitud y opuesta en dirección.

\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}

Las dos fuerzas actúan sobre cuerpos distintos; no se cancelan en el DCL de un solo cuerpo.

Segunda ley y ecuación fundamental

La ecuación ΣF = ma es el centro de la dinámica de traslación. En componentes, cada eje se analiza por separado.

Segunda ley de Newton

\sum \vec{F}=m\vec{a}

$\sum\vec{F}$: fuerza neta sobre el cuerpo · N
$m$: masa inercial · kg
$\vec{a}$: aceleración del centro de masa · m/s²

Con masa constante. Para una masa variable, la forma general es ΣF = dp/dt, donde p = mv es la cantidad de movimiento.

En dos dimensiones, la ecuación vectorial equivale a $\sum F_x=ma_x$ y $\sum F_y=ma_y$ . La fuerza neta y la aceleración tienen siempre la misma dirección.

Un error común es incluir en $\sum\vec{F}$ fuerzas que actúan sobre otros cuerpos. Solo se suman las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo cuyo movimiento se analiza.

Movimiento de traslación

Cuando la aceleración es constante, la posición y la velocidad se describen con las ecuaciones cinemáticas.

Aceleración constante

\begin{aligned} v&=v_0+at\\ x&=x_0+v_0t+\tfrac{1}{2}at^2\\ v^2&=v_0^2+2a(x-x_0) \end{aligned}

$v_0,\ v$: velocidad inicial y final · m/s
$x_0,\ x$: posición inicial y final · m
$a$: aceleración constante · m/s²
$t$: tiempo transcurrido · s

Estas ecuaciones solo son válidas si la aceleración es constante. No se aplican directamente a movimientos con aceleración variable.

Relación con la segunda ley

La aceleración que aparece en estas ecuaciones se obtiene de la fuerza neta mediante $a=\frac{\sum F}{m}$ . La cinemática describe el movimiento; la dinámica explica su causa.

Movimiento rotacional

Para un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo, el torque neto produce una aceleración angular.

Segunda ley para la rotación

\sum \tau=I\alpha

$\sum\tau$: torque neto respecto al eje de giro · N·m
$I$: momento de inercia respecto al mismo eje · kg·m²
$\alpha$: aceleración angular · rad/s²

El momento de inercia depende del eje elegido y de cómo se distribuye la masa. No es una propiedad única del cuerpo.

Cuerpo	Momento de inercia
Partícula a distancia r del eje	$I=mr^2$
Aro delgado respecto a su eje	$I=MR^2$
Disco o cilindro sólido respecto a su eje	$I=\tfrac{1}{2}MR^2$
Varilla delgada respecto a su centro	$I=\tfrac{1}{12}ML^2$

En la tabla, $M$ es la masa total del cuerpo extendido, $R$ su radio y $L$ su longitud. Para una partícula de masa $m$ a distancia $r$ del eje, el momento de inercia es $I=mr^2$ .

Ejemplos resueltos

Un caso de traslación con dos cuerpos conectados y un caso de rotación alrededor de un eje fijo.

Ejemplo resuelto

Máquina de Atwood ideal

Dos masas, $m_1=3{,}0\ \text{kg}$ y $m_2=2{,}0\ \text{kg}$ , se conectan mediante una cuerda ideal que pasa por una polea ideal. Calcula la aceleración de las masas y la tensión de la cuerda.

01
Definir el sentido del movimiento
La masa mayor desciende y la menor asciende. Se toma como positivo el sentido de movimiento de cada masa.
02
Ecuaciones de cada masa
$m_1g-T=m_1a,\qquad T-m_2g=m_2a$
Para $m_1$ el peso apunta en el sentido del movimiento y la tensión en contra. Para $m_2$ ocurre lo contrario.
03
Sumar para eliminar la tensión
$(m_1-m_2)g=(m_1+m_2)a$
Al sumar las dos ecuaciones, las tensiones se cancelan.
04
Calcular la aceleración
$a=\frac{(3{,}0-2{,}0)(9{,}81)}{3{,}0+2{,}0}=1{,}96\ \text{m/s}^2$
La aceleración es menor que $g$ porque la cuerda también debe acelerar a la otra masa.
05
Calcular la tensión
$T=m_1(g-a)=(3{,}0)(9{,}81-1{,}96)=23{,}5\ \text{N}$
La comprobación con la otra masa da el mismo valor: $T=m_2(g+a)=23{,}5\ \text{N}$ .

Resultado

Las masas se aceleran a $1{,}96\ \text{m/s}^2$ y la tensión es $23{,}5\ \text{N}$ .

Polea y cuerda ideales: sin masa, sin fricción y cuerda inextensible.

Ejemplo resuelto

Disco que gira por un torque constante

Un disco sólido de masa $M=4{,}0\ \text{kg}$ y radio $R=0{,}25\ \text{m}$ gira alrededor de su eje. Se aplica un torque neto de $2{,}0\ \text{N}\cdot\text{m}$ . Calcula su momento de inercia y su aceleración angular.

01
Calcular el momento de inercia
$I=\tfrac{1}{2}MR^2=\tfrac{1}{2}(4{,}0)(0{,}25)^2=0{,}125\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$
Se usa el momento de inercia de un disco respecto a su eje.
02
Aplicar la segunda ley para la rotación
$\sum\tau=I\alpha$
El torque neto y la aceleración angular tienen la misma dirección.
03
Despejar la aceleración angular
$\alpha=\frac{2{,}0}{0{,}125}=16{,}0\ \text{rad/s}^2$
El resultado se expresa en radianes por segundo al cuadrado.

Resultado

El momento de inercia es $0{,}125\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ y la aceleración angular es $16{,}0\ \text{rad/s}^2$ .

Se supone que el torque neto es constante y que no hay fricción en el eje.