Estática

La estática estudia cuerpos que permanecen en reposo o se mueven con velocidad constante. Para lograrlo, la fuerza neta y el torque neto deben ser nulos.

Condiciones de equilibrio

En una partícula basta con que la fuerza neta sea cero. En un cuerpo rígido también debe considerarse la posibilidad de rotación.

Equilibrio traslacional

\sum \vec{F}=0

$\sum\vec{F}$: suma vectorial de todas las fuerzas externas · N

El centro de masa no acelera: puede estar en reposo o moverse con velocidad constante.

Equilibrio rotacional

\sum \vec{\tau}=0

$\sum\vec{\tau}$: suma vectorial de torques respecto a un punto o eje · N·m

La aceleración angular es nula: el cuerpo no cambia su velocidad de rotación.

Para un cuerpo rígido en el plano, las dos condiciones vectoriales se convierten en tres ecuaciones escalares: dos de fuerza y una de torque. Las reacciones en los apoyos se incluyen como incógnitas.

Las tres ecuaciones del plano

\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum \tau_z=0

Si todas las fuerzas son concurrentes, el torque respecto al punto de concurrencia es automáticamente cero. En ese caso, las dos ecuaciones de fuerza suelen ser suficientes.

Equilibrio traslacional

La suma de las componentes de las fuerzas en cada eje debe anularse por separado.

Componentes cartesianas

\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0

$F_x$: componente de cada fuerza sobre el eje x · N
$F_y$: componente de cada fuerza sobre el eje y · N

Las fuerzas que apuntan en el sentido negativo del eje se restan. El equilibrio en x no garantiza el equilibrio en y.

Este resultado es consecuencia de la segunda ley de Newton: si la fuerza neta es cero, la aceleración del centro de masa también lo es. En un problema de estática, las incógnitas suelen ser tensiones, normales o reacciones en apoyos.

Equilibrio rotacional

Una fuerza puede no mover el centro de masa y, aun así, hacer girar el cuerpo. El torque mide esa tendencia.

Torque y condición de equilibrio

\sum \tau=0,\qquad \tau=rF\sin\theta

$r$: distancia desde el punto de giro hasta el punto de aplicación · m
$F$: magnitud de la fuerza · N
$\theta$: ángulo entre el vector posición y la fuerza · °
$\tau$: torque o momento de la fuerza · N·m

El torque es positivo si el giro es antihorario y negativo si es horario, con el eje z saliendo de la página.

La distancia perpendicular desde el punto de giro hasta la línea de acción de la fuerza se llama brazo de palanca y vale $r_\perp=r\sin\theta$ . Una fuerza aplicada en la dirección del brazo no produce torque.

En equilibrio, la suma de torques debe anularse respecto a cualquier punto. Elegir el punto donde actúa una fuerza desconocida suele eliminar esa incógnita de la ecuación.

Ejemplos resueltos

Los dos ejemplos aplican una condición cada uno. El segundo muestra cómo la simetría reduce el número de incógnitas.

Fig. 02Equilibrio rotacional

La barra se apoya en un pivote. Las distancias se miden desde el pivote: 0,30 m a la izquierda y una distancia x desconocida a la derecha.

Pesos W₁ y W₂
Distancias al pivote

Ejemplo resuelto

Equilibrio de una barra en un pivote

Una barra rígida de masa despreciable se apoya en un pivote. Una masa $m_1=2{,}0\ \text{kg}$ cuelga a $0{,}30\ \text{m}$ a la izquierda del pivote. ¿A qué distancia $x$ a la derecha debe colgarse $m_2=3{,}0\ \text{kg}$ para que la barra quede horizontal?

01
Elegir el pivote y el signo
El pivote elimina la reacción del apoyo de la ecuación de torque. Se toma como positivo el giro antihorario.
02
Torque de la masa izquierda
$\tau_1=+(0{,}30\ \text{m})(2{,}0\ \text{kg})(9{,}81\ \text{m/s}^2)=+5{,}886\ \text{N}\cdot\text{m}$
El peso actúa hacia abajo y el brazo apunta hacia la izquierda; el giro resultante es antihorario.
03
Torque de la masa derecha
$\tau_2=-x(3{,}0\ \text{kg})(9{,}81\ \text{m/s}^2)=-29{,}43x\ \text{N}\cdot\text{m}$
El peso actúa hacia abajo y el brazo apunta hacia la derecha; el giro resultante es horario.
04
Aplicar la condición de equilibrio
$5{,}886-29{,}43x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0{,}20\ \text{m}$
La aceleración de la gravedad se cancela en la ecuación; por eso también se obtiene el mismo resultado usando directamente las masas.

Resultado

La masa de 3,0 kg debe colocarse a $x=0{,}20\ \text{m}$ a la derecha del pivote.

Ejemplo resuelto

Letrero suspendido por dos cuerdas simétricas

Un letrero de masa $m=12\ \text{kg}$ cuelga de dos cuerdas simétricas. Cada cuerda forma un ángulo de $30^\circ$ con la vertical. Calcula la tensión en cada cuerda.

01
Aprovechar la simetría
Las dos cuerdas forman el mismo ángulo con la vertical, así que soportan la misma tensión: $T_1=T_2=T$ . Sus componentes horizontales son iguales y opuestas, por lo que se cancelan.
02
Equilibrio en el eje vertical
$2T\cos30^\circ-mg=0$
Cada tensión aporta una componente vertical $T\cos30^\circ$ hacia arriba. El peso tira hacia abajo.
03
Despejar la tensión
$T=\frac{(12\ \text{kg})(9{,}81\ \text{m/s}^2)}{2\cos30^\circ}=68{,}0\ \text{N}$
El resultado se redondea a tres cifras significativas.
04
Comprobar el eje horizontal
$T\sin30^\circ-T\sin30^\circ=0$
Las componentes horizontales se anulan, como exige el equilibrio.

Resultado

Cada cuerda ejerce una tensión de $68{,}0\ \text{N}$ . El peso total del letrero es $118\ \text{N}$ .

Se supone que las cuerdas son ideales y que el letrero está en reposo.

Puente hacia los sistemas de ecuaciones

Cuando hay dos o más incógnitas, las ecuaciones de equilibrio forman un sistema lineal. En la sección Sistemas de ecuaciones se resuelven con sustitución, eliminación y Gauss-Jordan.