Producto vectorial y torque

Vectores en coordenadas cartesianas

Un vector en tres dimensiones se escribe mediante sus componentes sobre los ejes x, y, z.

Representación cartesiana

\vec{A}=A_x\hat{\imath}+A_y\hat{\jmath}+A_z\hat{k}

$A_x,\ A_y,\ A_z$: componentes escalares del vector · según la magnitud
$\hat{\imath},\ \hat{\jmath},\ \hat{k}$: vectores unitarios sobre x, y, z · adimensional

En dos dimensiones se toma A_z = 0. La magnitud se calcula con el teorema de Pitágoras en tres dimensiones.

Magnitud

|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}

La magnitud es un escalar no negativo. Las componentes pueden ser positivas, negativas o nulas.

Las componentes indican cuánto contribuye el vector en cada dirección. Por ejemplo, el vector posición de un punto se escribe $\vec{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}$ y se mide en metros.

Producto cruz mediante determinantes

El producto vectorial de dos vectores se calcula desarrollando un determinante simbólico de tercer orden.

Definición

\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}

$\vec{A},\ \vec{B}$: vectores que se multiplican · según la magnitud
$\vec{A}\times\vec{B}$: vector resultante, perpendicular a ambos · producto de las unidades

La primera fila contiene los vectores unitarios; la segunda y la tercera, las componentes de A y B.

Desarrollo por componentes

\vec{A}\times\vec{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\hat{\imath}+(A_zB_x-A_xB_z)\hat{\jmath}+(A_xB_y-A_yB_x)\hat{k}

Propiedades del producto cruz

Es anticonmutativo: $\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$ .
Su magnitud es $|\vec{A}\times\vec{B}|=AB\sin\theta$ , donde θ es el ángulo entre los vectores.
Es cero si los vectores son paralelos o antiparalelos, porque $\sin\theta=0$ .
La dirección se obtiene con la regla de la mano derecha.

Torque como producto vectorial

El torque se define respecto a un punto o un eje. El vector posición se traza desde ese punto hasta el punto de aplicación de la fuerza.

Definición vectorial

\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}

$\vec{r}$: vector posición desde el punto de giro hasta el punto de aplicación · m
$\vec{F}$: fuerza aplicada · N
$\vec{\tau}$: torque o momento de la fuerza · N·m

El torque es un vector axial. Se expresa en N·m, no en joules: no es una energía.

El torque no es una fuerza: mide la tendencia de una fuerza a producir una rotación alrededor de un eje. Cambiar el punto respecto al cual se calcula cambia el vector posición y, normalmente, cambia el torque.

En un problema de estática, la elección del punto se hace para simplificar las ecuaciones. En dinámica, el punto debe ser el eje de rotación o el centro de masa, según el caso.

Fig. 04τ = r × F

El torque depende del punto de aplicación y de la dirección de la fuerza. La distancia perpendicular r⊥ = r sen θ es el brazo de palanca; aquí θ = 30°.

Vector posición r
Fuerza F
Línea de acción / r⊥

Magnitud del torque

La magnitud depende del módulo de la fuerza, de la distancia al punto de giro y del ángulo entre ambos vectores.

Forma escalar

|\vec{\tau}|=rF\sin\theta=F r_\perp

$\theta$: ángulo entre el vector posición y la fuerza · °
$r_\perp=r\sin\theta$: brazo de palanca o distancia perpendicular a la línea de acción · m

Si la fuerza es paralela al vector posición, θ = 0° o 180° y el torque es nulo. El torque es máximo cuando θ = 90°.

En el plano xy, un torque en la dirección $+\hat{k}$ produce un giro antihorario y un torque en $-\hat{k}$ produce un giro horario. Esta convención se usa en las secciones de estática y dinámica.

Ejemplos paso a paso

Primero se calcula un producto cruz con componentes; después, un torque a partir de la magnitud y el ángulo.

Ejemplo resuelto

Torque con componentes cartesianas

Una fuerza $\vec{F}=(5{,}0\ \text{N})\hat{\imath}$ se aplica en el punto cuyo vector posición es $\vec{r}=(2{,}0\ \text{m})\hat{\jmath}$ . Calcula el torque respecto al origen.

01
Escribir los vectores
$\vec{r}=2{,}0\hat{\jmath}\ \text{m},\qquad \vec{F}=5{,}0\hat{\imath}\ \text{N}$
02
Plantear el determinante
$\vec{\tau}=\begin{vmatrix}\hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\0&2{,}0&0\\5{,}0&0&0\end{vmatrix}$
03
Desarrollar
$\vec{\tau}=(2{,}0\cdot0-0\cdot0)\hat{\imath}-(0\cdot0-0\cdot5{,}0)\hat{\jmath}+(0\cdot0-2{,}0\cdot5{,}0)\hat{k}$
04
Simplificar e interpretar
$\vec{\tau}=-10\hat{k}\ \text{N}\cdot\text{m}$
El resultado apunta en el sentido negativo del eje z, es decir, produce un giro horario en el plano xy. Su magnitud es 10 N·m.

Resultado

$\vec{\tau}=(0,\ 0,\ -10)\ \text{N}\cdot\text{m}$ y $|\vec{\tau}|=10\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Ejemplo resuelto

Torque a partir de la magnitud y el ángulo

Una fuerza de $20\ \text{N}$ se aplica a $0{,}50\ \text{m}$ del eje de giro. El ángulo entre el vector posición y la fuerza es $30^\circ$ . Calcula la magnitud del torque y el brazo de palanca.

01
Aplicar la forma escalar
$|\vec{\tau}|=rF\sin\theta=(0{,}50\ \text{m})(20\ \text{N})\sin30^\circ$
02
Calcular
$|\vec{\tau}|=(0{,}50)(20)(0{,}50)=5{,}0\ \text{N}\cdot\text{m}$
03
Obtener el brazo de palanca
$r_\perp=r\sin\theta=(0{,}50)\sin30^\circ=0{,}25\ \text{m}$
Una fuerza de 20 N aplicada a 0,25 m perpendicularmente produce el mismo torque.
04
Determinar el sentido
Con la orientación de la figura, el giro es antihorario y el torque apunta en $+\hat{k}$ .

Resultado

$|\vec{\tau}|=5{,}0\ \text{N}\cdot\text{m}$ en la dirección $+\hat{k}$ (antihorario).

Dónde se usa el torque

En Estática se impone $\sum\tau=0$ ; en Dinámica se usa $\sum\tau=I\alpha$ . En ambos casos debes elegir un punto o eje y mantenerlo durante todo el cálculo.