Sistemas de ecuaciones

Concepto de sistema lineal

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que deben satisfacerse al mismo tiempo. Una solución es un conjunto de valores que cumple todas las ecuaciones.

Sistema 2 × 2

\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

$x,\ y$: incógnitas · según el problema
$a_i,\ b_i,\ c_i$: coeficientes y términos independientes · según el problema

Si el determinante de los coeficientes es distinto de cero, el sistema tiene solución única. Si es cero, puede no tener solución o tener infinitas.

En los problemas de fuerzas, las incógnitas suelen ser tensiones, normales o reacciones. Las ecuaciones provienen de $\sum F_x=0$ , $\sum F_y=0$ y $\sum\tau=0$ . Si hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas, el sistema puede resolverse de forma única.

Ejercicio con incógnitas literales

Resolver con letras permite obtener una fórmula general y sustituir datos al final.

Ejemplo resuelto

Sistema con parámetros a y b

Resuelve el sistema $2x+y=a$ y $x-y=b$ para las incógnitas $x$ y $y$ , en función de los parámetros $a$ y $b$ .

01
Sumar las ecuaciones
$(2x+y)+(x-y)=a+b \quad\Rightarrow\quad 3x=a+b$
La incógnita $y$ se elimina porque sus coeficientes son opuestos.
02
Despejar x
$x=\frac{a+b}{3}$
03
Sustituir en la segunda ecuación
$y=x-b=\frac{a+b}{3}-b$
04
Simplificar y
$y=\frac{a+b-3b}{3}=\frac{a-2b}{3}$
05
Comprobar en la primera ecuación
$2\left(\frac{a+b}{3}\right)+\frac{a-2b}{3}=\frac{2a+2b+a-2b}{3}=a$

Resultado

$x=\dfrac{a+b}{3}$ y $y=\dfrac{a-2b}{3}$ . El determinante del sistema es $-3\ne0$ , así que la solución es única para cualquier par de valores de a y b.

Ejercicio con datos numéricos

El mismo procedimiento se aplica cuando los coeficientes son números. Conviene comprobar la solución en ambas ecuaciones.

Ejemplo resuelto

Sistema 2x + y = 7, x − y = 2

Resuelve el sistema formado por $2x+y=7$ y $x-y=2$ .

01
Sumar las ecuaciones
$3x=9 \quad\Rightarrow\quad x=3$
Al sumar, $y$ se elimina.
02
Sustituir x en una ecuación
$2(3)+y=7 \quad\Rightarrow\quad y=1$
03
Comprobar en la otra ecuación
$x-y=3-1=2$
La solución satisface las dos ecuaciones originales.

Resultado

$x=3$ , $y=1$ . La solución es el par ordenado $(3,\ 1)$ .

Métodos de solución

Los tres métodos son equivalentes. La elección depende de la forma del sistema y del número de incógnitas.

Despejar y reemplazar

Sustitución

1. Despejar una incógnita en una ecuación.
2. Sustituir esa expresión en la otra ecuación.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Reemplazar el valor obtenido para hallar la otra incógnita.

Útil cuando algún coeficiente es 1 o −1.

Sumar y restar

Eliminación

1. Alinear las ecuaciones.
2. Multiplicar para igualar coeficientes de una incógnita.
3. Sumar o restar las ecuaciones para eliminarla.
4. Resolver y sustituir el valor encontrado.

Útil cuando los coeficientes ya son opuestos o múltiplos.

Matriz aumentada

Gauss-Jordan

1. Escribir la matriz aumentada.
2. Usar operaciones elementales de fila.
3. Llegar a la forma escalonada reducida.
4. Leer la solución directamente.

Se generaliza a sistemas de tres o más incógnitas.

Operaciones elementales de fila

Intercambiar dos filas.
Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero.
Sumar a una fila un múltiplo de otra fila.

Estas operaciones no cambian el conjunto solución del sistema.

Gauss-Jordan paso a paso

La matriz aumentada reúne los coeficientes y los términos independientes. Las operaciones de fila transforman el sistema en otro equivalente más sencillo.

Método de Gauss-Jordan

Resolución matricial del sistema anterior

Resuelve $2x+y=7$ y $x-y=2$ usando Gauss-Jordan.

01
Escribir la matriz aumentada
$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&7\\1&-1&2\end{array}\right]$
02
Intercambiar las filas
$R_1\leftrightarrow R_2:\quad \left[\begin{array}{cc|c}1&-1&2\\2&1&7\end{array}\right]$
Se busca un 1 en la primera posición para facilitar la eliminación.
03
Eliminar el 2 de la segunda fila
$R_2\leftarrow R_2-2R_1:\quad \left[\begin{array}{cc|c}1&-1&2\\0&3&3\end{array}\right]$
04
Hacer 1 el pivote de la segunda fila
$R_2\leftarrow \tfrac{1}{3}R_2:\quad \left[\begin{array}{cc|c}1&-1&2\\0&1&1\end{array}\right]$
05
Eliminar el −1 de la primera fila
$R_1\leftarrow R_1+R_2:\quad \left[\begin{array}{cc|c}1&0&3\\0&1&1\end{array}\right]$

Resultado

La matriz final equivale a $x=3$ y $y=1$ . El mismo resultado obtenido por eliminación directa.

La forma escalonada reducida tiene pivotes iguales a 1 y ceros en las demás posiciones de cada columna pivote.

Aplicación a la estática

Las ecuaciones de equilibrio de un nudo pueden formar un sistema lineal cuyas incógnitas son las tensiones.

Ejemplo resuelto

Tensiones en dos cuerdas con ángulos distintos

Una masa de $10\ \text{kg}$ cuelga de un nudo. Una cuerda forma $30^\circ$ con la horizontal y la otra forma $60^\circ$ , en lados opuestos. Calcula las tensiones.

01
Escribir el equilibrio del nudo
$\begin{cases} T_1\cos30^\circ-T_2\cos60^\circ=0\\ T_1\sin30^\circ+T_2\sin60^\circ=mg \end{cases}$
Las componentes horizontales apuntan en sentidos opuestos; las verticales apuntan hacia arriba. El peso vale $mg=(10)(9{,}81)=98{,}1\ \text{N}$ .
02
Despejar T₂ de la ecuación horizontal
$T_2=\frac{\cos30^\circ}{\cos60^\circ}T_1=1{,}732T_1$
03
Sustituir en la ecuación vertical
$T_1(0{,}500)+(1{,}732T_1)(0{,}866)=98{,}1$
04
Simplificar
$2{,}00T_1=98{,}1 \quad\Rightarrow\quad T_1=49{,}1\ \text{N}$
05
Calcular T₂
$T_2=1{,}732(49{,}05)=85{,}0\ \text{N}$

Resultado

$T_1=49{,}1\ \text{N}$ y $T_2=85{,}0\ \text{N}$ . La cuerda más inclinada soporta una tensión mayor.

Se supone que las cuerdas son ideales y que el sistema está en equilibrio.

De la física al álgebra

El sistema se construye a partir del DCL y de las condiciones de equilibrio. Una vez escritas las ecuaciones, el método algebraico es independiente del problema físico.